Radici dell’unità complesse: somma e prodotto
Eccoci tornati per un altro articolo di matematica; oggi si parla di radici dell’unità nel campo complesso. Indagheremo insieme un paio di loro proprietà risolvendo un esercizio. Buona lettura!
Prima di tutto un paio di richiami. In questo articolo scriveremo \(\exp(z)\) per indicare \(e^z\). Se \(n\) è un numero intero positivo, una radice \(n\)-esima dell’unità è un numero complesso \(\zeta\), ossia un elemento di \(\mathbb{C}\), tale per cui \(\zeta^n=1\). Sappiamo che, per \(n\) fissato, ne esistono esattamente \(n\). Per la formula di de Moivre, queste hanno per espressione
\(\zeta_k=\exp(2\pi i k /n),\)
\(k=0, 1, \dots, n-1\).
Si noti come i numeri interi compresi tra \(0\) e \(n-1\) siano esattamente \(n\). Tra queste radici ce n’è una speciale, la radice
\(\zeta=\zeta_1=\exp(2\pi i /n).\)
In particolare, si noti come \(\zeta_k=\zeta^k\), la potenza \(k\)-esima di questa radice speciale, per ogni \(k=0, 1, \dots, n-1\). Ora possiamo passare all’esercizio vero e proprio.
Si fissi un numero intero positivo \(n\). Si considerino le \(n\) radici dell’unità complesse \(\zeta_0=1, \zeta_1, \dots , \zeta_{n-1}\). Determinare somma e prodotto di tali elementi.
Iniziamo dalla somma. Una rappresentazione grafica dovrebbe riuscire a suggerirci una risposta. Sappiamo che le radici \(n\)-esime dell’unità si dispongono sui vertici di un \(n\)-agono regolare inscritto nella circonferenza unitaria centrata nell’origine, avente un vertice esattamente nel punto \(1\). Per \(n=5\), ad esempio, la rappresentazione grafica di tali radici è riportata in figura:
Se \(n\) è pari, ogni radice dell’unità ha per opposto ancora una radice dell’unità, quindi ci aspettiamo che la somma di tali radici sia nulla. Se \(n\) è dispari, come in figura, questa cosa non accade. Sotto queste condizioni la risposta non è così immediata.
Immaginiamo di trovarci nell’origine. Pensiamo ai vettori che abbiamo appena disegnato come a delle forze, che ci tirano con intensità pari a \(1\) Newton ciascuna nelle cinque direzioni evidenziate. Visto che la situazione è completamente simmetrica, concorderete con me sul fatto che rimarremo fermi nell’origine, senza essere sbilanciati da nessun lato. Questo significa che la somma vettoriale delle forze in figura è nulla o, equivalentemente, che la somma delle radici \(n\)-esime dell’unità fa 0! Vediamo come tradurre matematicamente questo argomento. Che significa che le forze rappresentate godono di questa simmetria? Significa che, se queste vengono ruotate di un angolo pari a \(2\pi /n\), le forze esercitate risultano le stesse. Ma ruotare in senso antiorario di tale angolo significa esattamente moltiplicare per la radice speciale \(\zeta=\exp(2 \pi i/n)\)! E infatti, se chiamiamo
\(S=1 + \zeta + \dots + \zeta^{n-2} + \zeta^{n-1}\)
la somma richiesta, otteniamo (ricordando che \(\zeta^n=1\)),
\(\zeta \cdot S= \zeta + \zeta^2 + \dots + \zeta^{n-1} + \zeta^{n}=\)
\(= \zeta + \zeta^2 + \dots + \zeta^{n-1} + 1=S\).
Portando a sinistra \(S\) e raccogliendo, otteniamo
\((\zeta-1) S=0\).
Vorremmo semplificare per \(\zeta-1\), ammesso che questo non sia nullo. Ciò accade se e soltanto se \(n>1\). D’altronde, se \(n=1\), di radice \(1\)-esima dell’unità ce n’è soltanto una, \(1\), e in questo caso \(S=1\). Se invece \(n>1\), semplifichiamo l’espressione ottenendo \(S=0\), come ci aspettavamo.
Passiamo ora al prodotto. Chiamiamolo \(P\), ottenendo in particolare
\(P= \zeta_0 \cdot \zeta_1 \cdots \zeta_{n-2} \cdot \zeta_{n-1}=\)
\(= \zeta^0 \cdot \zeta^1 \cdots \zeta^{n-2} \cdot \zeta^{n-1}\).
Utilizzando le proprietà delle potenze, riscriviamo questo prodotto come
\(P=\zeta^{0+1+\dots+(n-2)+(n-1)}\).
L’esponente vale esattamente la somma dei primi \(n-1\) numeri interi positivi (lo \(0\) non dà contributo). Esisterà mai una formula comoda per ricavare questa somma? Sì, e noi di Clipnotes ve l’abbiamo spiegata in una delle nostre pillole. La puoi trovare qui:
Dunque, visto che la somma dei primi \(n\) numeri interi positivi vale \(n(n+1)/2\), quella dei primi \(n-1\) vale \((n-1)n/2\). Sostituendo nell’espressione di \(P\), e ricordando che \(\zeta=\exp(2\pi i/n)\), giungiamo vicini al risultato:
\(P=\zeta^{(n-1)n/2}=\exp(\frac{2\pi i (n-1)n}{2n})=\)
\(=(\exp(\pi i(n-1))=(\exp(\pi i))^{n-1}.\)
L’identità di Eulero ci regala il valore di \(\exp(\pi i)\):
\(e^{i \pi} +1=0\),
ossia \(\exp(\pi i)=-1\). Dunque, in conclusione,
\(P=(-1)^{n-1}\),
ossia \(P\) vale \(1\) se \(n\) è dispari, mentre \(P\) vale \(-1\) se \(n\) è pari, e questo risponde alla seconda domanda dell’esercizio. Esiste un modo geometrico di visualizzare come mai \(P\) valga esattamente questa quantità, dipendentemente dalla parità di \(n\). Ti lancio una sfida: non è che riesci a trovarlo? (Hint: prendi una radice “sopra” e una radice “sotto”, ossia la sua coniugata; qual è il loro prodotto?)
Questo era un esercizio sulle radici dell’unità complesse 😉
Speriamo tu possa aver trovato utile questo nostro articolo.
Se hai domande o commenti non esitare a scrivere qui sotto!
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