Matematica

Clipnotes - Appunti e videolezioni

LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO

Nella lezione di oggi parleremo di uno dei primi argomenti con cui si approccia il piano cartesiano, cioè la retta. Ricordiamo che il piano cartesiano è costituito da due assi coordinati (\(x\) e \(y\)) con un’origine \(O\). L’obiettivo che abbiamo è quello di studiare una retta all’interno di questo piano, partendo dalla sua equazione analitica …

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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Risolvere una disequazione di secondo grado \(ax^2+bx+c\ge 0\) (al posto di \(\ge\) possiamo trovare \(\le\), \(<\) o \(>\)) significa trovare quel sottoinsieme \(S\subseteq \mathbb{R}\) tale per cui, per ogni numero reale del sottoinsieme \(S\), la disuguaglianza è verificata. \(S\) prenderà il nome di soluzione della disequazione di secondo grado, e solitamente è un intervallo, un …

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Un esercizio sul teorema della media integrale

In questo articolo risolveremo un esercizio sul teorema della media integrale, che può essere esemplicativo dell’utilizzo di questo teorema e giustifica, in qualche modo, il suo nome. Cominciamo con il ricordare il teorema della media integrale. Teorema della media. Sia \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) una funzione continua sull’intervallo \([a,b]\). Allora esiste un punto \(x_0\in [a,b]\) tale che …

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Radici dell’unità complesse: somma e prodotto

Eccoci tornati per un altro articolo di matematica; oggi si parla di radici dell’unità nel campo complesso. Indagheremo insieme un paio di loro proprietà risolvendo un esercizio. Buona lettura! Prima di tutto un paio di richiami. In questo articolo scriveremo \(\exp(z)\) per indicare \(e^z\). Se \(n\) è un numero intero positivo, una radice \(n\)-esima dell’unità …

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Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Dopo aver introdotto, nello scorso articolo, il concetto di integrale definito, oggi scopriremo uno strumento potentissimo per calcolare le aree sottese da grafici di funzioni: il teorema fondamentale del calcolo integrale! Introduciamo inizialmente il concetto di funzione integrale. Sia data \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\), funzione limitata e R-integrabile su \([a,b]\). Si chiama funzione integrale di \(f\) in \([a,b]\) …

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Radici e coefficienti: relazioni in un’equazione di secondo grado

Eccoci qui per un altro articolo di matematica. Oggi si parla delle relazioni tra le radici e i coefficienti in un’equazione di secondo grado. Sai ricavare la somma dei cubi delle radici solo dando un occhio all’equazione, e senza trovare le radici stesse? Buona lettura! Un’equazione di secondo grado è un’espressione del tipo\(ax^2+bx+c=0\)con \(a\neq 0\). …

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Integrale definito

Siete in grado di calcolare l’area sottesa da una curva in un piano cartesiano? Oggi cercheremo di rispondere a questa domanda nel caso in cui la curva sia il grafico di una funzione con particolari proprietà. Il nostro approccio sarà simile a quello utilizzato dal matematico Bernhard Riemann. Mettiamo bene in luce il nostro obiettivo: …

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Uno e uno solo: un esercizio sugli zeri di una funzione

Bentornati per un altro esercizio di matematica! Oggi ci occupiamo di esistenza e unicità degli zeri di una funzione. Vedremo come alcuni risultati del programma di quinta superiore possano convogliare in un unico interessante esercizio. Buona lettura! Esercizio. Sia data la funzione \(f(x)=e^{3x} + x^3 + \arctan{7x}.\) Dimostrare che \(f\) ammette uno e un solo …

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Lagrange vi spiega perchè prendete una multa

In autostrada spesso gli automobilisti si imbattono nei “Safety Tutor”. Sapete cosa sono? Vi hanno mai fatto prendere una multa? Dovete sapere che alla base della dimostrazione del superamento del limite di velocità c’è un noto teorema dell’analisi matematica: il teorema di Lagrange. Prima di tutto, cerchiamo di capire cos’è un Safety Tutor. Si tratta …

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Aerei e città: un esercizio di combinatoria

Oggi ci troviamo di fronte a un altro esercizio di combinatoria, speriamo che possa risultare utile e accattivante. Sarai in grado di trovare la risposta prima di leggere la soluzione? Problema. Supponiamo di considerare un po’ di città, e una rete di traffico aereo tra queste città. Con volo diretto tra due città si intende …

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